摘要 ：几何太极学在几何学的哲学形式下对中国的太极理念进行了全面的阐释，把西方学术理论的传统方法与中国文化传统理念融会在空间理论中，通过空间理论的集合论道路把学术理论中的内禀性与同一性的超越关系予以现代理论展开。数学哲学思想实际上就是数学基础理论中公理性前提的隐含意义，西方哲学思想与西方传统学术方法的一致性不能解释为自己的前提，中国思想提供了一个超越的视野，中国哲学与西方学术基础理论的全面汇通是中国文化对西方文化的合理理解的必由之路。

前言

。1。导论

。2 。基础点集理论

。3 。距离与空间

。4 。位置与空间

。5 。空间理论中的太极理念

。6 。几何太极学原理

前言 ：

　　在中国传统文化中，“太极”是中国哲学自身阐释的顶级概念之一，就是说对太极这一概念意义的理解和解释是中国传统文化和中国哲学思想自身阐释的一种方式，因此，太极和“道”、“无”等概念一样，自身是中国文化的精髓，但没有自己特定的直接定义，当你问太极是什么和企图解释太极是什么时，你实际是在理解和解释中国传统文化，这正是造成许多人特别是西方人对这些概念感到困惑的原因，这也成为中国传统文化的一个秘密，当中国文化世界化时，中国文化中的核心概念必须得到西方文化能够理表达解和理解的方式，这并不是重构中国文化，而是把中国文化的精神和理念在世界性的文化整合大潮中有机地参与其中，因此这并不是中国文化的困难，而是人类的机遇。

　　现象性地看来，中国文化与西方文化的相对性是显著的，这种相对性是一种全面性，无法在某个方面，某种事实，或某个领域等进行定义性的区别，在很多地方甚至是无法进行相对性比较的，这里的主要的困难就在于中西文化的相对性区别于不是文化某一个层次的特质性不同，大体上说来，中国文化是“文化性”的，而西方文化是知识性的，文化的本质是整合，知识的特征是分析，因此文化比较和融和的困难就在于能否实现不同层次上同时性的全面交流，一方面，西方文化应对中国文化具有实证、分析性的研究，另一方面，中国文化应对西方文化进行整合性的吸收，实际上西方文化的现代文化性变迁已经成为了西方现代性甚或是后现代性的主旨，如果说，文艺复兴标志着西方文化从中世纪宗教文化向的希腊式的知识化回归，那么现代西方的社会性的文化化就同样是一个历史进程，文化成了现代性的标志和口号。

　　另一方面，中国的近、现代开始的剧烈社会变革却是从文化的老年走向现代知识化的蜕化还童，因此民主和科学成为了五四时代摧枯拉朽的旗帜和号角，百年血浴火焚，一代代的骨殖奠基，终于从一个内斗争外抵抗的自我中国最终开始觉醒走向世界中的中国，知识和理性工具已经普遍化、社会化了，但中国并没有西方化，中国文化的精神和理念并不是与西方文化对立的部分，中国文化与西方文化是互补性地世界文化的有机构成，因此我们应当看到，一个从传统走向现代的中国文化的巨大身影正在一个世界化的脚手架体系中羽化成形。

　　在中国传统文化观念中，知识是一个形而下的层次，中国文化的精粹不在于如何表达和表达的知识形式，而在于不断地呈现自身价值，这就是文化意义上的文化纯粹性，的价值性因为中国的历史已经提供了一个文化化的社会体系，但在现代文化的世界性范围中，中国文化应把自己的理念和精神注入到世界化的知识体系中，这正与纯文化如艺术的性质一样，实现形式、内容和文化本质的统一，西方文化的知识纯粹性与中国理性的自身纯粹性是文化互补的，中国文化充分利用世界文化的资源为自己作世界意义的阐释，是中国文化传统的现代化必然之路。

　　追索到知识的最深基础层次，就是时间和空间，康德的“纯粹理性批判”就以时间和空间作为人类的先天纯粹直观形式，是一切知识和知识论的基础，从古希腊最伟大的学者到现代最前沿的科学家，都在时间和空间这两个顶级概念前止步，中国文化中最精粹的哲学思想能够在人类最前沿的思想领域获得进步吗？

　　在西方学术思想中，以欧几里德几何学为代表的空间理论是哲学和数学的一个最重要的源头，几何学的形式与形式逻辑一样一直是古代直至现代的一切知识和知识理论的基础，因此在知识的自身本质性上说，形式和形式化的道路是西方学术乃至西方文化的内在特征，但是形式化的纯粹性却包含着自身不可逾越的困难，这种困难并不是在现代学术理论中突然产生的，在几何学的源头就隐含了这颗种子，空间理论中没有关于点自身的几何学，空间总是作为一个认识工具框架出现，因此最终的几何体——点，并未被理解为空间自身的意义，因为西方文化一直缺少一种关于自身内在本质性的学术思想，即使是知识的精神本质——理性，也脱离不了工具性的尴尬，相比之下，中国文化是一种自身本质性的，自身本质的纯粹就是内禀性，在中国传统哲学中，有一个顶级的自身纯粹性概念——太极，作为一个中国哲学概念，太极不是作为时间或空间的理论形式而被表现和表达的，太极没有一种分析性的自身直接定义，而是作为中国传统文化思想在中国传统学术理论中以文化阐释表现自己的价值理性，中国传统哲学的术语——太极无极，就是指自身本质的纯粹 性，这与几何空间的自身纯粹性具有的某种同一性，但这两者是不能直接进行概念分析性比较的，在文化比较的意义上，是不同层次上的超越性一致，把形式的自身纯粹性阐释为本质纯粹的内禀性正是本论的目的。从文化的观点看，中西文化在超越层次的意义上是互补的，我们可以看到，得到充分发展的现代数学日益精深却面临着自己的哲学基础的困扰而被称为数学的危机，中国传统的哲学思想在现代数学基础理论中所表现的深遂性已经日渐突显。

•  导论

1．1．数与点的学科

　　一般地说，数学的基础和内容大体分为两个部分：数与空间，数的理论以算法为基础，最经典的代表理论就是自然数和数学分析，几何学以空间为基础，欧氏几何就是典范，但这两者是互补共生的，在数学理论中几乎不分彼此，数学进步的特征就是不断地提高抽象化程度，以得到更广泛地普遍性和深刻性，数学所追求的纯粹性就是这种本质性特征的直接表现，

　　现代分析是对经典分析的发展，即以抽象空间理论为基础而表现的分析理论，如泛涵分析。本论以形式化的空间理论（点集拓扑学）的观点和方法重建中国太极学的现代基础理论，在这个意义上，太极学既是一种现代化的本源性哲学理论，也是现代数学基础的一个基本理论思想。

1．2，点与空间的几何学

1．2．1．在欧氏几何学中，点是空间中的位置（周剑铭：“中国哲学——太极几何论”），就是说点是由空间定义的，这符合我们的日常直观，所有我们感觉的对象都以空间形式确定为表象，但空间自身并不是真正纯粹的，现代物理学发现，不存在一无所有空间，即所谓“真空不真”；另一方面，人们早就知道世界上不存在真正的纯粹几何体，比如任何物物质平面在微观都是不平的，即使我们有能力可能将分子原子一个排列整齐，它们的表面也不是无限致密的，并不成为一个几何严格上的平面，因此纯粹的几何学与世界事实并不相容。

1．2．2．我们必须倒过来从本源上追诉点的意义，但我们不可能有点的绝对定义，这是一个哲学上的存在论问题，能够直接以点为对象的纯粹理论就是集合论，通过点集空间的理论，我们可以无须事先有对点的精确定义而来讨论点与空间的抽象性质，然后，将中国文化的内禀性思想引入点与空间的关系的理论，理解点与空间的同一性关系。

1 ． 3 ．数学理论中最强大、最基本的工具就是集合论，集合论虽然是非常抽象的理论，但集合论仍具有很大的直觉性，所以理解集合论的一般概念并不太困难，本论一开始就直接将几何点作为集合的元素，这样本论的展开也就不太抽象。当然，在形式集合论中，点被抽象为任何对象而纯粹形式化，这对于一个非业人士是难以撑握的，但本论并不以纯粹的形式演绎为目的，而是直观空间概念基础上的形式方法，这对于具有中国传统学术思想的学人来说，理解这一点并不太困难，并且正是由于中国思想的直觉理性才能揭示形式化道路上难逾越的障碍后面的秘密。

1．4．思想实验与形式化演绎

1．4．1 经典几何学以几何图形的纯粹性而使包括柏拉图在内的所有哲学家们折腰，但人们仍有一点不满意，比如定义两个三角形全等就使用重合法，这就需要一种移动图形这样的物理操作和空间各向同性的假定，现代数学思想一个思想就是把数学对象之间的关系看成一种变换或映射（ Mapping ），比如，函数就被理解为自变量的值域与因变量的值域的一个变换，我们同样可以用集合之间的映射代替物理操作，这种纯粹性可以摆脱物理实境的困难，实现形式化演绎。

1．4．2．直觉方法这几乎是一切科学基本理论的前提，公理方法就是将最少的直觉定义作为公理，然后以不涉及具体性的纯粹理论方式展开。作为数学方法，集合论要用形式符号来表达，所谓形式符号就是只表达符号关系的符号，形式符号的演绎或演算就成为形式系统。使用符号方法可以避免普通语言描述的歧义性，保证形式系统的严格一致性。以下所论涉及的符号只是本论中必要的部份。

1．5．本论的公理性质和理论展开

1．5．1．本论的研究集中于点与空间的直觉观念与形式方法的关系上，这种关系还没有一种前提性的理论，所以提出一个公理：形式演绎的一致性等同于直觉的重合。这个命题是一种基于经验的直觉，无法证明也无法推翻，因此是一个公理，下称本论公理。

1．5．2．本论实际上是这条公理的展开，在本论中，集合论的属于关系与空间理论的位置概念具有上述等价关系，本论依靠集合论与空间理论的纯粹性一致，论证几何学的点与空间的内禀同一性，空间和点都以位置为内涵，空间“位置”与集合的“属于”这二者最终等价于哲学意义上的内禀性，而内禀性是由太极理念阐释的，从而使太极理念自身得到现代学理上的展开，故名太极学。

1．5．3．本文中“一致性”即“无矛盾”，“纯粹”与“抽象”意义相同使用。

　　空间“维”一词的特殊意义就是哲学术语“层次”一词的几何解释。

　　“同一性”、“内禀性”的意义是由本论解释的。

1．5．4．一种理论是作为理论方法或成为理论的内容，往往具有同一性，本论是利用了这种方便而不在论述中作特别说明。

　　集合论是数学的基础理论，几乎每一本数学论著都可以从集合论开始，有关论著非常多而庞杂，这里不准备重述集合论基础理论，不涉及集合论中的自然数理论，而只是主要关注集合论与空间理论基础，故名为几何太极学论纲。

•  基础点集理论

2．1．集合论基础

2．1．1 直觉地说，集合就是一些（有限）对象的集合；这是集合论的朴素观点。

2．1．2． 集合的意义并不在于组成这些事物本身而在于事物之间的关系，在集合论中则成为集合与集合中的元素的关系，在公理集合论中，集合和元素只有属于关系，纯粹的集合论的意义就是表达这种属于关系。

　　按常识理解，属于是一种内部关系，在集合论中，属于关系并不归结为集合或元素的性质，而是表达为集合的自身相对性结构，本论将集合论的自身内在性结构发展为内禀性理论，从而实现点与空间的同一，这是本论将中国哲学思想引入集合论和几何学的立论基石。

2．1．3．由此，本论在纯粹关系的意义上给出集合的定义：任何对象如果具有属于关系，就是集合。

　　这个定义中，属于关系是由直觉理解提供的，但是集合论的展开精确地表现这种关系，这正是形式公理方法的特征。

　　这个定义中，集合与集合的元素是定义没有区分，即一个集合也是一个元素或一个元素也是一个集合，这正是集合论自身的元学性质，也是集合论成为数学最基本的理论的原因，当然这也使它隐含了自身难以逾越的困难。

　　这个定义是最简单的，但并不是完备的，按朴素集合论的观点，一个元素属于或不属于一个集合是正常的，但是根据上述定义，集合自身也可以具有属于关系，即自身属于自己的集合是一个集合，或者说，自身为自己的元素的属于关系是可以递归，但是这个定义排除了不包括自身的集合，不包括自身的集合是正常的但是不能定义不属于自身的集合的集合，著名的罗素悖论就是：所有不以自己为元素的集合自成为一个集合，这个命题是因为定义了集合对自身的否定而成为悖论。在现实世界中，任何一件工具不能制造自身，形式方法的抽象性却能使数学理论成为构造自己的工具，这正是纯粹的理论方法能自立的秘密，但也带来了不能逾越的困难，在哲学史上成为了被称之为休谟问题的认识论困难正是这种情况在哲学中的反映，歌德尔定律正是因为完全展示了纯粹性与完备性之间的绝对对立而成为数学的一个里程碑。

2．1．4．集合论理论对集合论悖论是无可奈何的，如果要维持集合论的形式性一致而又避免悖论，只有一个办法，就是区分集合的级别（类型），一个集合与自己的集合中的元素不是同一级别（类型）的，就是说以自己为元素的集合与不以自己为元素的集合必须分别处理，但是这样一来，所有集合论的展开就变得非常复杂，与形式法道路所追求的简单性和普遍性背道而驰，与传统形式逻辑不同的一些所谓现代泛逻辑基本上也是探素这样的道路，而这些也正说明了纯粹的形式方法对层次问题无能为力，当然，我们由此也可以理解，纯粹的形式方法正是对现实世界层次的抽象而得到极大的普遍性。通常，集合论只能直接排除导致悖论的特殊情况，对于这种不完备性，本论理解为形式方法的一种本质性，这也正是本论引入中国思想的原因（悖论不悖）。

2．1．5．本论基于朴素集合论，约定元素为直觉意义的点，空间是点的集合，这意味着空间总是有内容的，这种朴素性与现代物理学理论具有一致性（“真空不真”），这也是本论内禀性的直觉性与形式性统一的现实性；

　　集合的集合也是空间，因此点与空间在集合论的定义上具有一致性。

2．1．6．集合论中的定义、性质与运算是互相解释的，定义可以由运算表达，一个运算也构成了一个定义或性质，这大体上由理论的展开情况而确定，下面的论述只是本论展开所必要的，并有一些形式上的简化或省略，并且，在不涉及复杂性的情况下，简化了符号式的表达。

2．2．基本定义及性质：

（ 1 ）符号 a 、 b 、 c 、 d 、……代表点。

（ 2 ）符号 S 、 X 、……代表点的集合。

（ 3 ）） S 由元素构成记为 S{a,b,c,d, …… } ；

　　也可以描述性表达：集合 S 的点为 a,b,c,d, ……，或点 a,b,c,d, ……是Ｓ的元素；

（ 4 ） a 是 S 的一个点，或 S 含有 a ，表达为： a ∈ S ，符号式表达为： S{a: a ∈ S } 。

（ 5 ）集合的点有限或无限。

（ 6 ） X 为 S 的子集，当 X 的所有元素也是 S 的元素，即集合 X ｛ a,a',a'',a''', ……｝ 属于 S ，当 S ｛ b,b',b'',b''' ……， a,a',a'',a''', ……｝；称 X 为 S 的子集，记为 X ∈ S 。

（ 7 ）若 X ∈ S ， 则 X'=S—X，X'称为X的补集。

（ 8 ）若则 X{ x1,x2,x3 …… } 为 S1 、 S2 的所有元素的集合，称 X 为 S ！、 S2 的并集： X=S1 ∪ S2 。

（ 9 ）若元素 X{ x1,x2,x3 …… } 同属于 S1 和 S2 ，称 X 为 S1 、 S2 的交集： X=S1 ∩ S2 。

（ 10 ）有限集的相等：Ｓ１＝Ｓ２，当 S １ {a,b,c,d, …… ,z} 且 S ２ {a,b,c,d, …… ,z} 。

（ 11 ）无限集合的势（基）：若无限集合 S1 、 S2 这两集合之间的元素一一对应，则称两集合等势（基）。

　　这里应指出，这种一一对应是存在的，比如自然数与所有的正奇数或正偶数等势，“势”在这里的意义就是一种更加抽象的“数”，我们可以定义全体自然数成为一个集合 N={1,2,3,4, …… } ，虽然自然数的个数是不能知道的，但自然数集合的势是确定的，存在比自然数集合更大的势。自然数集合的势是有序可列的，但空间点集的势是不可列的。

2．3．映射

2．3．1．“关系”是一个简单、普遍但很难定义的概念，最直观的关系就是对应，这实际上涉及算法理论的哲学问题，现代数学中通常以一种避免涉及直接物理过程的形式关系——映射，来精确定义这个概念。

2．3．2．如果集合 S(x1,x2,x3, …… ) 、 Y(y1,y2,y3, …… ) 的所有元素之间存在一种对应关系，称 S 、 X 之间映射 f ： f(x)=y 。

在这种定义下，通常说的函数也就是映射，一个函数就是函数的定义域与值域之间的对应关系，映射有一一映射，逆映射和复合映射等，与函数相同。

2．3．3．集合的自身映射也是属于关系，这种内部对应关系在纯粹的意义上就是内禀性。

•  距离与空间

　　欧氏空间是以毕达哥拉斯定理（勾股弦定理）为标识的，在现代空间理论中，欧氏几何的直角刚性由拓扑学的橡胶性所取代，几何距离的度量严格性性由位置相对性所取代，几何学进入到拓扑学，图形几何转化为点集几何，经典分析变成为现代分析，空间与点的同一性关系明显化了。抽象空间是现代数学思中想最重要的基础理论之一，是几何学与算法理论高度交流的结果，本论中的空间是基于直觉几何的，但依靠抽象空间的理论背景，本论虽然有直接目的，但本论实际表明了空间的纯粹性与集合论的纯粹性的一致，本论泛称几何太极学正是基于这种一致性。

3．1．从直觉出发，空间具有内容性、连续、无限的基本特征，这三者是所有空间理论的出发基点，内容性暗示空间具有属于的形式本质性，连续是空间拓扑化的前提，无限是空间存在性的哲学问题，前两点可归结为一个物理概念——距离，距离意味着一种连续、可容性的间隔，两个目标点之间的间隔如果是物理不同质，就需分别度量，如陆路和航路，只有在几何的意义上，才是纯粹的空间距离。在中文，空间一词的字面意义就是空的间距，即距离。因此定义了距离也就定义了空间，距离的精确定义就是度量方法，现在我们抽象物理操作，以形式方法定义空间距离的一般性概念。

3．2．定义

令 S 为点的集合，点 x 、 y ∈ S ，并令 ρ 为一实函数，当且仅当：

（ 1 ） ρ （ x ， y ） ≥ ０；当且仅当 x ＝ y 时， ρ （ x ， y ）＝０（距离为 0 ，两点重合）；

（ 2 ） ρ （ x ， y ）＝ ρ （ y ， x ），（空间对称性或各向同性）；

（ 3 ） ρ （ x ， y ） + ρ （ y ， z ） ≥ρ （ x ， z ）（两点间的距距离不大于它们分别到第三点距离之和，又称三角不等式），

则： ρ 为Ｓ的一个度量， ρ 的值就是 x 、 y 之间的空间距离。

我们定义了点之间的距离，也就定义了一个距离空间，这样，一个距离空间就是一个集合Ｓ连同其中的一个度量 ρ ，记作 S （ x ， ρ ）。

　　这里特别指出，度量 ρ 为一实函数这一条件，是由实数无限性所保证的距离空间的连续性，这种空间连续性是空间外向无限的直觉观念的基础，由这牵涉到集合数论问题，也不是本论发展空间内禀性理论的重点，本文不予深入。

3．3．欧氏距离空间

　　距离空间是对欧氏空间的进一步抽象，即放弃了欧氏空间中的坐标相互垂直的唯一性，这样距离空间就具有了一种拓扑性质。欧氏空间只是距离空间的一个特例，因此，如果Ｓ为距离空间的一个子集，其中毕达哥拉斯定理成立： ρ (x ， y)=((x1-x2)^2+( y-y2)^2) ^ 1/2 （式中 ^ 为 txt 文本表达方法，即幂次），其中（ x1 ， y1 ）、（ x2 ， y2 ）为点 x 、 y 在 XY 平面上的坐标，则 ρ (x ， y) 就是通常的欧氏空间距离。

　　距离空间由度量定义，因此也称度量空间（ Metric Space ），下面，距离空间还将进一步抽象，走向更纯粹的抽象空间。我们现在讨论的点集空间仍是以欧氏空间直觉为基础的，即使不依靠我们的点的直觉，我们仍然可以定义纯粹形式的抽象空间，并且具有更普遍性的意义，比如，我们以函数作为集合的元素，把函数看成为抽象空间中的点（或者把点看成为函数），我们就可以得到现代数的一大分枝：泛函理论。

　　到此时为止，我们还没有对点的确切定义，但是通过集合论的方法，我们定义了空间。由此我们可以看出，集合论的方法虽然抽象，但与我们人类的认识和知识的起源道路是相同的，这正是为什么曾经有一些数学家努力地想以一种“新数学”的方法（“孩子们的集合论”）改变初级数学教育方法的原因。

•  位置与空间

　　位置是空间的一个特殊概念，纯粹的位置就是空间自身，位置关系就是空间自身的结构性关系，这种几何纯粹性是由几何学中的一个基本理论对偶性和对偶原理（ principle of duality ）表达的。在纯粹的几何学中，点的位置只有两种：重合或不重合，在分析理论中，点与点可以无限接近，即不重合也不不重合，不重合的是一种外向性关系，通常的几何学主要是在这个形式上展开的，而位置的重合的几何学意义则是由邻域理论展开的，距离空间将度量的意义空间定义化了，但度量仍是一种操作，我们可以进一步将度量形式化为空间的自身性质，这就是位置空间的意义。

4．1．点的邻域

4．1．1．距离空间 S(x, ρ ) ，即存在集合 S 和其中的一个度量 ρ ，其中有点 x ，并另有点 y ，如果度量 ρ ( x , y )总小于一个任意指定小的正数ε，则称子集X（x, y ） ,为点x的邻域X（x, ρ）。

这个陈述表达为符号式就是： X(x , y, ρ , ε )={x:x ∈ X ; ρ (x,y)≤ε } ； X ∈ S ， ε >0 。

4．1．2．邻域公理：

（ 1 ） x 的邻域 X 包含 x ；

（ 2 ）邻域中的每一点至少有一个邻域；

（ 3 ） x 的邻域 S 中的一点 y ， y 必有邻域 Y ， Y ∈ S ；

（ 4 ） x 的邻域 X 和 x 的邻域 Y 的交集和并集都是 x 的邻域。

4． 2．开集与闭集

4．2．1．对于 o 点的邻域集中的所有点，有度量 ρ (o,x)<ε，即 S{o, ρ }={x: x ∈ S, ρ(o,x)<ε } ，则成为一个开集。通常考虑为三维空间的情形下，这时开集也称开球。

4．2．2．存在集合 S0={x: ， ρ (o,x)=ε } ，称为邻域界面（球面）。

4．2．3．开集与界面构成闭集。

4．2．4．一个空间中的开集与闭集互补。

4．3．拓扑空间

4 。3．1．上述邻域是欧氏几何意义上定义的，由于 ε是一个具体的数值，所以一个点的邻域是一个以这个目标点为中心，ε为半径的规则球域；如果的ε的值有定义但不是唯一具体的值，则一个点的领域可以是不规则的，我们可以将这样的邻域理解为包含我们的目标点的一个可以任意变形的橡胶球，这样的邻域就是 拓扑学意义上的邻域 。

4．3．2．这样我们就完全抽象了距离的概念，ε没有度量值的具体性意义，ρ所定义的只是一种纯粹的相对位置——点和它的邻域的相互空间关系，由此，距离空间成为了纯粹的位置空间，即拓扑空间。

4．3．3．拓扑空间概念是由点的邻域引伸的，即由纯粹位置关系而定义的空间概念，因此空间与点在位置的意义上是同一的。

4．3．4．欧氏空间是只拓扑空间的特例。不依靠直觉，抽象空间也可以用集合的运算进行定义。以下均为拓扑空间。

•  空间理论中的太极理念

　　在集合论中，只要具有属于关系，集合、子集、元素概念是可以相互替代的（实际上，学习集合论的困惑大多源于此），在形式定义中，一个点与一个空间没有区别，本论以直觉的点为起点，所以包含了点与空间的直觉区别，这时的点是空间内的点，点是空间中的位置，以上所论距离空间、拓扑空间、位置空间与这种直觉性不矛盾，现在我们强调在邻域空间的意义上，位置与空间具有同一性。

5．1．邻域空间

　　距离空间所定义的是点与点的关系，点的邻域所定义的不是这个点与另一个点在空间中的位值关系，邻域是点的集合，因此这里是这个点与这个点的邻域中所有点的关系，也就是一个点与它的邻域空间的关系，下面，我们进一步将邻域理论紧致化。

5．1．1．由邻域公理，一个点与它的邻域中的点互为邻域关系。

由 4．1．2．邻域公理： X 为 x0的邻域， X 有点 y0， y 0 有邻域 Y ， Y ∈ S ；

由于度量ρ (x0,y0)与 ρ(y0,x0)存在，因此x0，y0互为对方邻域中的点；

由此，任意点 x必有邻域 X ， X 中的任意点 x'与x互为邻域中点，具有这种关系的邻域定义为邻域空间。

5．1．2． 一个点与它的邻域的关系是可以相互替代的， 这可以援引几何学的对偶性原理支持，因此， 一个点与它的邻域空间具有形式同一性，在直觉上，一个点与它的邻域空间位置重合， 由本论公理，点与它的邻域空间在形式和直觉上等同，这被称之为具有同一性。

5．2．太极集合

5．2．1．当集合中没有点时，称之为空集，记作 Φ，符号表达为：Φ ={x: x≠x}。

　　空集的定义在集合论中是必要的，因为在理论的演绎中常常要先假定某集合存在，空集就意味着理论自身的正确性，即使反证，反证理论也是正确的，因此空集的定义在形式上合理，符号式中 x≠x一项表示，有空集，但其中没有属于自己的元素，这个定义与集合的属于定义相矛盾。

5．2．2．空集 Φ是任何集合的子集。

5．2．3．空集包含自身。

　　空集包含自身在集合论中是空集的一个算法性质，相当于自然数中的 0 ，以中国哲学概念的命名，空集就是元集，本论以这种算法性质代替上述的空集定义：空集是集合自身，这与空集的上述定义和集合论的运算无矛盾，即空集以自身为元素或以自身为子集，这样就遍免了通常集合论中空集没有自己的元素这种定义悖论。

5．2．4．一个集合以自身为元素，即一个集合包含自身，或，一个集合属于自身，记为 S{S} 。这样一个集合总是自己的子集，而且可以递归，比如，不断地以一个画面画出本身的画面，一般集合论不关注这样的集合。

5．3．5．以空集为元素的集合，记为 S( Φ ) 。（注意空集 Φ与空集的集合 S( Φ ) 不同）

5．3．6．空集的集合为自身为元素的集合，记为 S{S}= S{ S( Φ ) } 。

5．3．6．我们进一步强调 S( Φ )为唯一空集 为自身元素的集合（即排除多个空集组成的集合，比如， S{ Φ 1,Φ2,Φ3,…… } ），这个特殊集合 S{S}= S{ S( Φ ) } 命名为太极集合。

这里的唯一性的强调与集合论无矛盾，这使我们从形式的抽象回到空间直觉。

5．3．太极点与太极空间

5．3．1．按照本论的约定，集合是点集空间，空集无元素，依太极集合的定义，空集不是空的空间，空集是空间自身，由集合论，太集集合亦即太极元素，由本论公理，点集空间与直觉空间同一。

5．3．2．太极元素也就是太极点。在二维情况下，“点具有几何无限性的内禀本质，点的自身无限性与无限长直线同一。”（中国哲学——太极几何论， 1.2.6. ）这样定义的点被称为太极点。由术、太极点定义的空间就是太极空间。

5．3．3．点空间的同一性。

在纯粹几何学中，点是空间中的位置，由邻域空间、太极集合、太极点与太极空间的定义，空间的位置是空间内涵定义，空间是空间位置的外延，空间中的位置（点）与位置自身（空间）同一。

6．几何太极学原理

　　公理形式方法不能逾越自己的公理，科学理论对存在问题无能为力，因此我们无法追问数学中有没有唯一性的数或点的存在，也不知道如何实证“实无限”这样的物理性本质，我们只能进入哲学。“太极几何论”用太极学的观点论述了几何学中点的内禀无限性与空间外向无限性同一，本论公理与对偶原理深化了内禀性与外向性的一致性，中国传统哲学理念太极是这种一致性的基础，太极在西方哲学理论中没的相对应的概念或范畴，但从集合论和空间理论的基本观点出发，我们已经逾越了形式方法的最前沿，虽然空间理论不是中国传统哲学的学术范畴，但经过中国哲学思想阐释的空间理论和隐含有其中的时间能够以一种非思辩的理论方式表达太极学的理论体系，现在，我们综合性的表述太极学的基础理论。

6．1．空间与空间理论中的太极同一性

　　在中国传统学术思想中，没有分离纯粹的空间概念，由于中国文化的历史性本质，时间和空间没有分别立论，“宇宙”合称即为世界，“往古来今谓之宙，四方上下谓之宇”（淮南子·齐俗），中国古人的朴素意识中，时空现象共守无离，如“八月在宇。”（诗·豳风·七月”），空间总是隐含有时间性内涵，所以中国古人没有产生纯粹的几何学，没有纯粹性的空间的观念就意味着空间总是具有自身的本质，“有实而无乎处者宇也，有长而无本剽者宙也。”（庄子·庚桑楚），这种令今人惊骇的洞察实质上就是时空的物理直觉，这种直觉是所有科学大师创造性的思想泉源，但是物理学理论是由数学工具方法支撑的，中国的传统哲学思想和学术理论如果没有形式表达言化的体系理论支持，就不能实现自身的开放，中国文化也就不能世界化。另一方面，几何学在纯粹的意义上就是纯粹的空间理论，但理论的纯粹总是走向自己的反面，这就需要一种在理论的纯粹性与现实性之间的桥梁，这正是中国哲学思想能够有机地融入现代科学思想的学术保证。空间理论正是这样一种处在中、西、古、今之间立交桥。

　　中国文化是以内向性思维为特征的，哲学术语就是内禀性，内禀性与外向性不同，如果说外向性以对立性为特征，内禀性就以同一性为特征，但内禀性与外向性两者在外向性的意义上是对立的，而内禀性与外向性在内禀性意义上却具有同一性，这正是本论在几何形式的理论展开中所表现的中国哲学的超越理性。

　　同一性是一个复杂的概念，在哲学中，同一性有同构同一性与超越同一性的分别（可参见周剑铭“中国思想和精神哲学”），本论的展开就阐释了对这两种同一性的一致性化，这正是在内禀性的意义上实现的，本论公理是内禀性与外向性的同一性，对偶原理是同一性在几何理论中的表达。中国哲学思想使我们能够实现质的纯粹与形式纯粹的统一，这种统一正是中国理性与西方理性在文化上互补相容的证明。

6．2．“太极”释义

　　如果要以一种纯粹的工具方法展示太极理念，就是纯粹空间，在中文中，能够以“极”表达的直观世界只有空间，时间不具有直观性，如南北“极”、“登峰造极”等等就是空间的极致，而且，只有在纯粹的意义上才能是“极”，任何非纯粹的附加都不能称之为“极”，比如“极目”，就是已经看不到具体的东西了，通常空间的直觉观念是空间外向性直观的现象化，因此能与“极”唯一对应的直觉名词概念就是空间自身，但与几何纯粹（几何单性）的空间不同，中国理性的纯粹性不是形式的纯粹，而是质的纯粹：“有实而无乎处者宇也”，这是一种纯粹的空间本质观。

　　中文中，“太”从大，大而过，只能是无限，因此，自身内禀无限的正是空间的本质性，“太极”一词的现代阐释精辟地表达了空间质的纯粹性和形式纯粹性的统一，“太极无极”是对“太极”这一理念所涵义的内禀性、纯粹性和无限性的精微阐释。

6．3．内禀性与对偶原理

　　空间的内禀性是隐含的质的本质性，几何学是以图形关系表达空间的纯粹性质的，因此不会在几何学的理论中有内禀性的表达，但是空间的本质仍然是顽强表现的，这就是几何学中的对偶性和对偶原理。

6．3．1．无论是直觉的空间，还是抽象的空间，迄今为止的空间观念大体上是以空间的外向性研究为主，科学理论研究客观对象在空间中的关系即事物的性质，在社会科学中，社会环境大体上也是作为一种空间环境出现的，只有在学术研究的前沿领域，一种模糊的内在性才逐渐显露，虽然人的内在性一直是各种相关学科的关注中心，但以往的学术研究总是努力地将这种内在性外在化，比如各种心理学就是这样。另一方面，中国传统文化是以自身的历史性为根基的，历史是时间的表象，以心性的研究为特征的中国儒家文化把一种历史的内在性发挥得淋漓尽致，但这是借中国文化的庞大体系而表达的，中国哲学思想的表现方式就是内禀性的文化化，在中国传统文化体系中，这是最好的自身阐释方式，但如果要直接表达中国哲学思想自身，就必须有一种纯粹的工具方法，在理论的纯粹性上，西方学思想和学科理论发展了极为丰富的分析理论，但它的自身体系矛盾表明它缺少一种超越的内禀性思想和理论道路。通常的空间直觉都是基于空间外向性，所以，外向性概念在空间理论和哲学理论中都无须也没有过特殊的强调，欧氏几何学就是以空间外向性的基本方式展开的，而科学和哲学理论中的归纳、分析等方法也是基于外部观察和表象性思维，所以说在西方学术思想中缺乏一种自身内向性的思想，因此，在纯粹的形式方法基础上发展内禀性理论正是中西哲学思想的互补的必然之路。

　　纯粹几何的单纯性中不是几何空间的性质而是几何形式的性质，空间的性质如宇称是由特殊的几何理论如对偶性、拓扑学等表现的，普通几何学大体上是基于空间位置不重合的空间外向性关系，空间位置重合的特殊意义在几何学中没有得到展开，实际上位置重合的特殊意义正是空间的内禀性的几何形式，内禀性概念的特殊性正是由于相对于与外向性关系所体现的一种文化性观念，正是由于内禀性概念才能将空间自身的本质性表现出来，从而更好地理解空间外向性的几何性质。

6．3．2．几何学的基本理论中的对偶性原理，最先是在射影几何中被提出，并得到很大的应用，这是因为对偶关系是一种很重要和很特殊的对应关系，这不是通常的映射关系所能表现的，迄今为止它的意义尚未得到全面的理解。比如，点与线两用者就是一种最典型的对偶关系，一个点在指定的线上和一条线通过一个指定点就是对偶关系，在一个对偶关系中的一方的自身结构在别一方对偶性地存在，这称之为对偶原理，如：“每两个不同的点确定着唯一的一条直线”可以对偶替换成“每两条不同的直线关确定唯一的一个点”。

　　对偶性不是反映体系内的结构而是指体系自身的整体性质，实际上就是指空间外向性与内禀性的对偶关系，对偶原理表现的是空间与空间中的元素的反转关系，这与本论所分析的集合与元系、空间与点的关系是相同的，也是一致的，就是说，对偶性和对偶原理与集合论中的集合与元素的关系和空间与空间中的元素的关系不过是同一理论概念在几何原理与哲学理念上的不同表现。

6．3．4．普通几何学的对偶原理在拓扑学中的表现就是空间反转，空间的反转不是两个空间之间的对立或否定，而是空间自身的变易，这正是莫比乌斯带和克莱因瓶所表现的双面与单面性的同一性的神秘性所在，

6．3．5．内禀性本质是由内禀无限性表现的，点的内在无限性（太极几何论）和由点集空间无限性所表现的空间内在无限性是内禀性在几何理论中的体现。比如，具有内禀纯粹性的几何体就是一个拓扑体（流形）。

6．3．6．空间的内禀性和形式自身的内禀性的统一就是本论中的内禀性，这也正是本论公理的哲学意义所在。

6．4．空间理论中的变易

几何太极学不是把公理形式方法的演绎直接抄写成中文述说，而是基于中国变易思想的再阐释。

6．4．1．变易是中国哲学的核心思想，在中国哲学中，变易并没有直接的定义性解释，易是由八卦演绎进行阐释的，八卦不是纯粹的符号演绎，所以无法直接表达变易自身的纯粹理论结构，这就需要一种能够表现中国的哲学理念的纯粹工具方法，八卦演绎在算法上的意义所具有的高度抽象性非常难于理解，但空间的直观性和纯粹性是易于理解的，比如，纯粹几何单性与拓扑结构之间的对比就能直观地反映太极阴阳的变化性，具有的内外面的二维拓扑球能够形象化说明几何单性的纯粹性与阴阳拓扑结构之间的关系，这正是中国传统的阴阳理念能在拓扑学的空间理论中得到学理性的表达的原因。

6．4．2．在拓扑学中，通常只是研究现成的拓扑结构，而不是研究拓扑本身的意义，比如，如何理解空间的内外拓扑翻转（空间连通性的拓扑原理），是拓扑学不能回答的问题。在这种情况下，如“太极几何论”，由于引入点的内禀性，就使空间自身的内在性结构呈现出来。

6．4．3．空间的自身意义上纯粹结构是数学理论无法解释的，比如，在点集空间中，最大的集合结构就是开集和闭集，开集和闭集是定义为互补的，但在唯一性情况下，如一维欧氏空间（直线）自身与空集即是开集也是闭集，这种相对的绝对化使形式化的空间理论无法一致性与完备性兼得。

6．4．4．在一个点集空间中，开集的补集为闭集，也就是开球界面属于那一个集合，则该集合由界面封闭，为闭集，反之则为开集，开球界面就可理解为单性的几何面，这种单性是几何学自身无法进一步解释的，这种点集空间的开闭关系就具有拓扑学的空间翻转的意义，空间的自身翻转是无法由几何学直接表达的，这正如图形重合全等是欧氏几何学自己所不能证明的一样，这种已经属于哲学性质的任务恰恰不是西方哲学能够担任的，因为西方哲学具有几何学同样的长处和盲点。

6．4．5．开球界面与它“左右”的点集具有一种空间“内外”的决定性转化关系，开集与闭集的由邻域界面属于谁（左右）决定直觉意义上的空间“内”、“外”分别，这种区别有两层意思，第一是，对于一个邻域闭集，它的补集是开放的，这个补集是相应邻域的外部空间，这个邻域闭集可以看作是整个空间一个内在结构；第二方面，对于一个邻域开集，它自身是一个开放空间，它的补集是闭集，这个闭集可以看作是整个空间的一个纯粹部份。这种不同层次意义上的转化正是中国变易理论的典型例子。

6．4．6．开球界面可以形象化地理解为中国太极图中的那根 S 形曲线，即纯粹几何单性面的意象式投影，这正是中国的太极图所具有的图示性神秘的一个方面。几何语言是很难直译成哲学语言的，西方哲学所具有的几何学性质也无法实现对自身内涵的阐释，但中国哲学与几何学的融会却可以全面地讨论几何学自身的性质，并且在哲学意义中上升为更普遍的时空理论，这也正是太极学的魅力所在。

6．5．互补的统一：阴阳

太极无极是太极的变易展开，太极无极的展开就是阴阳两仪。但阴阳不是太极的对立性分裂，而是自身的互补相生。

6．5．1．把阴阳看成对立的统一是一种形式观点，阴阳所表现的是质的纯粹性，也就是所有事物的一般本质，所以不会有单阴单阳的存在意义，几何单性是质的抽象，因此恰恰失去了质的纯粹，中国的阴阳理念既具有图形几何相对性表示，更是一种事物的纯粹性质的表达，阴阳不是对立关系，不是绝对化的相互或自身的否定，而是超越的转化相生，正是阴阳两性的变易在几何学的形式理论中注入了统一性，

6．5．2．空间的内禀性与外向性的关系是空间的自身性质，这种关系不是分析方法所能胜任的，而且正是由于对内禀性的理解才表现出空间内与外的统一性，这是空间最纯粹的本质。

6．5．3．空间外向性与内禀性的同一性关系可以由几何学的对偶原理表达，但对偶原理只是对偶性的几何题例，并不能解释对偶性，只有在空间自身的阴阳关系上才能理解空间的自身统一性，空间的自身翻转是几何对偶性的本质。

6．5．4．把点与点的集合、点与邻域、点与空间的关系理解为空间的自身关系，是空间自身的阴阳之道。

6．4．抽象空间与太极之维

现代空间几何理论与高维空间理论直相关，是现代学术理论的最前沿。

6．4．1．几何点是零维的，在几何学中并没有特别的意义，但是在几何太极学中，空间的维数是具有特殊意义的，零维是维的极致，是维的纯粹性，任一维在低一维上的投影就是零维的点，这正是抽象空间理论中一个基本观点，因此函数被看成是抽象空间中的一个点（泛函），如果把“极”理解为“维”的纯粹性，这就是“太极无极”在高维理论中的最深刻、最精湛的理解。

6．2．2．由 6．3．2．定义的纯粹拓扑性，在抽象空间模型中，就是高维空间的低维投影，莫比乌斯带，克莱因瓶和太极图具有意象的一致性。中国传统的太极图，就是这种多维投影的意象性图示，几何学在哲学中特殊地位大体上是由这种特殊性确定的。

6．4．3．空间的维与中国哲学中的元具有相同的地位和价值，这正是中国哲学思想能够与古今几何学理论取得融合性交流的根源性基础。

6．5． 无限与太极无极

　　无限是西方哲学和数学理论中一个焦点，在空间理论中，无限性是空间的一个本质，即有直觉的解释，也有形式上的表达，但这两者没有一个统一的理解， 直觉的无限隐含着空间的连续性，形式上的连续有确定的定义，但这两者是被割裂的 。

6．5．1．在直觉中，空间的无限是指距离无限延伸，这也就是空间外向所表现的空间连续性，这种无限是无限大，空间的外向性的无限是直觉的极限，称潜在无限，潜无限是不能把握的，无法理解的，又被称为恶无限。

6．5．2．直觉空间的无限性是空间外向性意义上的潜无限，但隐含着空间的连续性，没有空间的连续性，空间的外向性就是离散的，这样空间就不能在纯粹的意义上被理解，空间的外向性也就没有空间自身的意义，空间直觉连续性是空间的内禀性质，在数学理论中没有表达方法，在数学理论中，受点与数的同一性支持，空间的连续性是在算法意义的理论中展开的，数学分析理论中的无限小就是这样，这种无限是可以定义的，这种无限称实无限，或真无限；

6．5．3．在邻域理论中，我们看到另一种空间意义上的无限小，通过空间与空间位置的同一化，使空间在位置的意义上内禀化展开，这正是本论所依靠的方法。

6．5．4． “太极几何论”指出，空间的无限大不能在“自身”（维数）中表现，空间在自身无限远处发生自身的翻转（空间连通性的拓扑原理），即：空间外向连续性是由太极点的内禀性定义的；类似地，在本论中，空间是由邻域定义的，邻域空间中，一点和它的邻域具有位置同一性，空间的内禀性与外向性具有数学形式一致性，空间外向性和内向性的变易性就是拓扑学意义的空间翻转，这样实无限与潜无限取得一致，当然，这种橡胶式的内外翻转在空间自身中是无法实现，拓扑学虽然能表达这种翻转，但不能理解和解释它的意义，最多只能以低维形式的模型表达，如莫比乌斯带或克莱因瓶，中国哲学思想提供了这种外向直觉无限与形式连续性之间统一性的超越理解。

6．5．5．点集拓扑理论的空间连续性是由实数理论保证的，但实数理论是需要集合论来进行研究的，点集空间理论自身不能提供空间无限小的连续性保证。本论中的空间与点的同一性统一了无限大与无限小的一致，无限小可以看作是无限大翻转的相对形式，这个理论最终要由算法理论支持，本文不再深入。

6．5．6．现代天文观测和天文学理论告诉我们，我们的宇宙没有一个中心，宇宙不是从一个中心开始发生膨胀，而是处处都在膨胀，如果把我们的宇宙降低为平面的二维，我们的宇宙就象一个正在吹大的气球一样，在这个平面宇宙上不存在一个特殊的中心点开始产生膨胀，球面上的每一个点都在相互均匀离开，在这样一个球面宇宙上，无限是无法自身理解的，这就象我们对自己所在的三维宇宙的无限性无法理解一样，这种没有膨胀中心的宇宙无限性可以称之为“太极无限”，按“太极无极”的解释方法，没有中心的膨胀就是无极无限，无限与太极同一，膨胀的宇宙就是太极无限的现实性。

6．6．超越的中国思想

　　悖论可以看作是形式理论自身不可逾越的“证明”，中国哲学理论中不存在悖论，从中国哲学看悖论，悖论有悖论存在的合理性。

6．6．1．罗素悖论的启示是一个主体的属性与自己的结构的同一性在形式化的道路是无法最终实现的，这不仅是集合论中的困难，而是西方学术传统中的最深层次的困难。虽然形式化方法可以将集合的属性与集合的结构同一化，但最终无法逃脱这种同一化所带来的无法克服的矛盾，形式系统公理性的前提只不过是将矛盾隐藏到更深的层次。

6．6．2．罗素悖论所定义的不属于自己的集合（的集合）中有一个不属于关系，这是对属于关系的否定，也就是对集合论的否定，但在朴素集合论上正确，因为不属于自己的集合在朴素集合论中是普遍情况，公理集合论的纯粹化把自身性质包括进来，狼也就和羊一同被关进了羊圈，罗素悖论实质是形式系统完备性和一致性的自身矛盾的逻辑表现。

6．6．3．一个元素或集合具有属于的关系，在不涉及自身的情况下是正常的，但一涉及到自身，就会出现矛盾，除了罗素悖论外，空集也是涉及自身的，空集的定义空集“没有元素”，所以作为集合的空集就没有属于关系，这就与集合具有属于关系的定义相矛盾。

6．6．4．集合论中对集合和属于关系的定义是以前提的方式肯定的，集合论无法在自己的理论中推演，因此这里的问题不是集合论理论的，而是逻辑学和认识论意义上的，这只能由哲学负责，但西方传统哲学具有自身的困难恰恰与此相同。集合论形成了关于自身对象的严格理论，可以应用在几乎所有的科学理论中，但无论怎样精致严格，最终仍是漂浮的大陆。

6．6．5．所有形式理论的基础就是形式自身的纯粹性，对质的抽象也就意味着对自身性的否定，这是悖论的产生的根源，直觉主义者以构造过程（能行性）代替构造的形式，因此他们排斥实无限和排中律，实际上他们引入了时间的本质性而排斥形式方法的纯粹性，直觉主义成了数理逻辑中无法接受也不能拒绝的学科悖论。

6．6．6．悖论被称为数学和所有科学基础理论的危机，在理论上解决悖论甚至发为多种专门理论，这正象罗素的类型论一样，理论越支离，世界也就越破碎；另一方面，悖论与实际问题总是两回事，亚里士多德在“物理学”中的转述芝诺悖论，说阿喀琉斯永远也追不上乌龟，芝诺当然知道阿喀琉斯能够追上海龟，现在我们可以用无穷数列的求和算出这个时间，这里的真正问题是知识理论与现实的不统一，理性与知识的完备性与一致性之间的对立性反映的正是这种不可逾越的对立，康德说二律背反是“建筑在人类理性的本性上，因而是不可避免，是永远不能终止的”，正是在这个意思上说的，比如：正题：世界在时间与空间上有起始有界限，反题：世界在时间与空间上无起始无界限，正题是现实（潜无限），反题是知识（实无限），无限成为了理论与现实之间的中国式隐喻，我们可以把太极理解为西方文化的金毛羊隐喻，理性当然在不断地克服问题而进步，依靠超越性的中国思想，中国哲学理论能够解释悖论存在的合理性，悖论不悖，这正是中国文化对西方文化的合理理解。

　　与本文相关的观点可参见周剑铭论中国思想和中西文化系列文章